¿COMO SERIA APROXIMARSE A SATURNO VIAJANDO EN UNA NAVE ESPACIAL? Miralo aquí

Cassini se aproxima a Saturno

Realmente magnifico trabajo de edición y producción, pues asi como lo ve en este video... la SONDA CASSINI tomando miles de miles de imagenes a su paso por Saturno y miles mas cuando entro a su orbita; algunas de estas imagenes ...se han digitalizado, recortado y compilado en el inquietante video de arriba que es parte del gran proyecto filmografico en desarrollo del IMAX llamado Outside In .

En la última secuencia, Saturno surge cada vez más grande mientras que el nublado Titán desciende.

Con Saturno de fondo, la Cassini sigue hacia Mimas , con el gran Cráter Hrschel claramente visible.

Los majestuosos anillos de Saturno entonces toman escena mientras Cassini cruza el plano del fino anillo del planeta.

Las oscuras sombres del anillo se muestran sobre Saturno como tal.

Finalmente, la enigmática luna de geíseres de hielo Encelado aparece en la distancia y se va aproximando conforme el video termina..

Creditos:

Astronomical Picture of the day (NASA)

ESFERAS DE DANDELIN (una vision rápida a una de las maravillas de la geometría analítica)

(Este artículo participa en la EDICION 2.2 DEL CARNAVAL DE MATEMÁTICAS cuyo anfitrión para esta edición es nada menos que  GAUSSIANOS porque todo tiende al infinito)

Ha pasado tiempo ya desde que Ciencia por Barcedavid participó en un carnaval de matemáticas... desafortunadamente no pude estar en la edición cumbre celebrada en Tito Eliatron Dixit la edición 2.1... pero esta vez regresamos y con un artículo genial... ESFERAS DE DANDELIN.

Es sorprendente, a pesar de que los antiguos griegos conocian bien muchas propiedades de las SECCIONES CÓNICAS no fue sino hasta 1822 cuando se conocieron las elegantes configuraciones geométricas siguientes:

Estas esferas se conocen como Esferas de Dandelin y fueron descubiertas por dos matemáticos belgas: Lambert Jacques Quetelet (1796 - 1874) y Germinal Pierre Dandelin (1794 - 1847)

En geometría analítica a las curvas formadas por la intersección (no degenerada) de un plano con un cono se les llama secciones cónicas. Siempre que existen una o dos esferas interiores al cono que son simultáneamente tangentes al plano y al cono se les llama esferas de Dandelin estas tocan al plano de interseccion con el cono en un foco de la sección cónica. A veces también son llamadas esferas focales.

Las esferas de Dandelin son usadas para probar dos teoremas que eran conocidos 15 o 16 siglos antes de Dandelin pero el hizo mas facil el modo de abordarlos.

1. El primer teorema dice que una sección cónica cerrada (es decir, una elipse) es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante. Esto ya era conocido por los antiguos matemáticos griegos como Apolonio de Perga  pero las esferas de Dandelin facilitan la prueba de dicho teorema

Analicemos el teorema de acuerdo a la gráfica para entender mejor lo que plantea:
*En la gráfica, el plano π intercepta al cono diagonalmente formando una elipse, como se puede apreciar en la grafica (de color azul) ademas tenemos dos esferas dentro del cono llamadas G1 sobre el plano π  y la  G2 bajo el plano π la intersección con el cono genera dos circulos; k1 y k2.
*Cada esfera toca al plano π en un punto de tangencia llamados F1 y F2 
*P es un punto cualquiera en la curva de la elipse azul 
Ahora bien; el primer teorema nos dice que la figura formada por la interseccion del plano π con el cono y los dos puntos de tangencia de las esferas al plano π es una elipse tal como se muestra en el .gif siguiente:

Prueba:
La suma de las distancias d(F₁, P) + d(F₂, P) se mantiene constante para cualquier posición que adopte el punto P a lo largo de la curva.
Una línea que pasa por el punto P y por el vértice S del cono intersecta a los círculos k1 y k2 en los puntos P₁ y P_2,  si se mueve el punto P a lo largo de la elipse, tambíen se moveran P₁ y P₂ a lo largo de los dos círculos (ver la animación) ahora bien, la distancia de F₁ al punto P es la misma que la distancia de P₁ a P, por ser PF₁ y PP₁ líneas que se intersectan en P y además ser tangentes a una misma esfera G1 (lineas color rosa) del mismo modo que  la distancia de F₂ a P es la misma que la distancia de P₂ a P, por ser PF₂ y PP₂ líneas que se intersectan en P y además ser  tangentes a una misma esfera G2.(lineas color amarillo)
En consecuencia, la suma de las distancias d(F₁, P) + d(F₂, P) debe ser constante a medida que P se mueve a lo largo de la curva porque la suma de las distancias d(P, P₁) + d(P, P₂)  también se mantiene constante.y ademas el punto P se halla en la recta de P₁ a P₂, y la distancia de P₁ a P₂ se mantiene constante. 
Si recordamos la definición de ELIPSE como el lugar geométrico de los puntos P tal que d(F₁, P) + d(F₂, P) = 2a (siendo 2a una constante igual al eje mayor), entonces el análisis anterior prueba que la intersección del plano π con el cono genera una elipse. 
El resultado de esta demostración no es novedoso, ya era conocido desde la época de Apolonio de Perga ( 262 aC –  190 aC), lo que si resulta novedoso es la sencillez con la que demuestra lo mismo utilizando otro método, la construcción geométrica de las esferas de Dandelin.
Veamos ahora el segundo teorema relacionado:
2. El segundo teorema dice que para cualquiera de las secciones cónicas, la distancia de un punto fijo (el foco) es proporcional a la distancia desde una línea fija (directriz), la constante de proporcionalidad es la llamada excentricidad. Una vez más, este teorema ya era conocido por los antiguos griegos, como Pappus de Alejandría pero las esferas de Dandelin nuevamente facilitan la prueba

La recta directriz de una sección cónica se puede encontrar utilizando la construcción de Dandelin.

Cada esfera de Dandelin intercepta al cono en un círculo, cada uno de estos círculos k1 y k2 define su propio plano (πk1 y πk2), estos planos son paralelos entre sí y perpendiculares al eje del cono. Las intersecciones de estos dos planos con el plano π definirán en general dos líneas Df1 y Df2 (rojas en la figura), paralelas entre si, perpendiculares al eje del cono y externas al cono, estas líneas son conocidas como las directrices de las secciones cónica. La parábola es un caso particular porque sólo puede tener una esfera de Dandelin, y por lo tanto tendrá una sola directriz, la circunferencia es el otro caso particular dado que el plano π de intersección con el cono es paralelo a los círculos k1 y k2 y en consecuencia no se produce intersección alguna, lo que implica que la circunferencia no tiene recta directriz.

Usando de las esferas Dandelin, se puede demostrar que cualquier sección cónica es el lugar geométrico de los puntos para los que la distancia de un punto llamado foco es proporcional a la distancia de la directriz.

Los antiguos matemáticos griegos como Pappus de Alejandría ya eran conscientes de esta propiedad, pero nuevamente las esferas de Dandelin facilitan mucho la prueba.

Es interesante resaltar, para finalizar que ni Dandelin ni Quetelet utilizaron las esferas focales para demostrar la propiedad foco-directriz. El primero en hacerlo fue (aparentemente) Morton Pierce en 1829 La propiedad de foco-directriz es esencial para demostrar que los objetos astronómicos se mueven a lo largo de secciones cónicas alrededor del Sol.

saludos cordiales

Referencias bibliográficas:

Geometria Analítica Moderna (Wooton - Beckenbach - Fleming)

IDENTIDAD DE EULER

(esta entrada participa en la X edición del carnaval de matemáticas cuyo anfitrión es Francis (th)E mule Science's News)

Esta es mi primera entrada utilizando el formato PDF a través de scribd.com, este PDF esta escrito en Scientific WordPlace (SWP), y editado en Microsoft Word 2007 en el formato PDF aun falta pulir muchos detalles, estoy aprendiendo editar mis documentos en LyX.

La Identidad de Euler

WEBGRAFÍA:
La demostración proviene de Gaussianos
Imágenes, reseña historica: wikipedia, internet
Definición número imaginario: algebra de Charles H. Lehmann

PARADOJAS MATEMÁTICAS

(ésta entrada participa en la X edición del carnaval de matemáticas cuyo anfitrión para esta edición es Francis (th)E mule Scince's News)

Se llaman PARADOJAS MATEMÁTICAS a ciertos resultados notoriamente falsos que parecen deducirse de demostraciones rigurosas, pero durante las cuales se ha efectuado una operación que no tiene sentido, o un razonamiento erróneo, o una construcción geométrica cuyo trazado no es correcto.

A continuación expondré algunas de ellas:

PARADOJA NUMERO 1:

Sean dos números iguales a y b con "a" elemento de los Naturales y "b" tambien elemento de los Naturales y distintos de cero,  escribiremos:

• a = b

Multipilicando ambos lados de ésta igualdad por el mismo número "a" (lo cuál es absolutamente válido) obtenemos:

• a² = ab

Ahora restamos de ambos lados el mismo número " b² " (lo cuál es absolutamente válido) tenemos:

• a² - b² = ab - b²

Ésta última expresión puede escribirse asi (factorando en ambos lados):

• (a + b)(a - b) = b(a - b)

Dividiendo por (a - b) ya que ambos términos (a y b) son distintos de cero tenemos:

• a + b = b

Pero como al inicio asumimos que a = b entonces podemos escribir:

• b + b = b
• 2b = b

De donde finalmente se obtiene que:

• 2 = 1  ¿?

¿Donde esta el error? El mismo radica en que si asumino al inicio que a y b son elementos del conjunto de los naturales y ambos distintos de cero, ademas que a = b entonces a - b = 0 y la división por cero NO ESTA PERMITIDA de allí que evidentemente 2 no es igual a 1 █

PARADOJA NUMERO 2:

Sea el triángulo ABC y los puntos M, N, P los puntos medios de sus lados.

Tracemos las rectas MP y NP:

Por haberse formado un paralelogramo MPNC resulta:  

AN + NP + PM + MB =AC + CB

Efectuando una construcción análoga para los triángulos ▲ANP y ▲PBM y continuando indefinidamente de este modo, vemos que los segmentos divididos sucesivamente formados tienen siempre su longitud igual a AC + CB.  Como la longitud de los segmentos que forman los segmentos más pequeños disminuye constantemente y sus vértices se aproximan cada vez más a la recta AB decimos entonces que:

En el límite, el perímetro de los segementos divididos llega a confundirse con el segmento AB y por consiguiente:

• AB = AC + CB  ¿?

Esta paradoja se explica por la falsa interpretación del  término <<límite>> cuya definición precisa es:

Se dice que una magnitud variable x tiende hacia un límite determinado A, si los valores sucesivos de x se aproximan al número A de modo que el valor absoluto de la diferencia (x - A) pueda llegar a ser menor que todo número positivo dado, por mas pequeño que éste sea, usando notación matemática se tiene:

Lim (x→a) f(x) = L si para todo ℰ > 0 existe un δ > 0 tal que:

si  0 < │x - a│< ℰ  entonces│f(x) - L│< ℰ

En este ejemplo x y A son respectivamente, el perímetro de los segmentos divididos y la longitud del lado AB. Pero x  es constante y no variable, y la diferencia (x - A) es también constante.

No siendo lícito aplicar la noción de límite a magnitudes que no satisfacen las condiciones de la definición antes descrita; no es de extrañarse pues que en el caso tratado se haya llegado a un resultado por demas ABSURDO! █

PARADOJA NUMERO 3:

Vamos ahora a demostrar con un razonamiento parecido al anterior que una semicircunferencia es igual a su diámetro.

Para esto vamos a trazar dos semicircunferencias que tengan por diámetros los radios OA = OB = R de una semicircunferencia dada. Ésta última Esta última tiene por longitud  πR , y la suma de las otras dos es:

π(1/2 R) + π(1/2 R) = πR  osea igual a la primera.

Continuando con la misma construcción indefinidamente, sse tiene siempre la misma longitud πR para la línea formada por las 4, 8, 16, ... circunferencias, las que por ser cada vez menores, nos inducen a decir que forman una línea que se confunde con el diámetro AB, osea πR = AB █



Saludos cordiales.


Fuentes:
(El hombre que calculaba - Malva Tahan)

MATEMATICAS APLICADAS A LA VIDA REAL

MUY INTERESANTE

Este video nos muestra una pequeña aplicación de probabilidades al momento de seleccionar un premio de entre tres lugares en los que podria estar, ¿como acertar (o tener mayores posiblidades de hacerlo) en un concurso en donde debes seleccionar donde esta el premio mayor?

Aqui la respuesta.

FELIZ NAVIDAD 2010

y saludos cordiales a todos.

Matemáticas aplicadas a la vida real - Muy interesante
Miguel Ángel Sabadell nos trae en esta nueva píldora de MuyTV como aplicar las matemáticas al día a día. ¿Dónde deberías invertir? ¿Qué caja tienes más posibilidades de tener premio en un juego de trileros? Descúbrelo en MuyTV

Palabras clave:vídeos experimentos muytv matemáticas

Vídeo de pildorasmuy

GEOMETRÍA EUCLIDIANA PARA DAR CON EL TESORO PERDIDO DE ATAHUALPA; EL ÚLTIMO DE LOS EMPERADORES INCAS.

(Esta entrada participa en la IX edición del carnaval de matemáticas cuyo anfitrión es sentado en la trebede)

TESOROS.... ¿a quien no le gustaría hallar uno? hay quienes prefieren encontrar tesoros usando viejos mapas, como en el libro de Julio Verne "Viaje al centro de la tierra" en donde vimos que el profesor Otto Lidenbrok al hallar una extraña criptografía en las hojas de un antiguo manuscrito, decide emprender viaje hacia el centro de la tierra a través del cráter del extinto volcán Snefls en Islandia... en busca del gran tesoro.

Mucho habrá que decir acerca de tesoros escondidos y recuperados y la importancia histórica y cultural que éstos representan para quienes los hallan y para el lugar a donde pertenecen, así por ejemplo las pirámides egipcias, los grandes buques llenos de oro hundidos en los mares atlánticos, los volcanes y llanos en la cordillera de los Andes o las dunas desérticas en Arabia contienen aún mucha información, tesoros  y escondites esperando aún ser descubiertos, pues bien, sudamerica y más en concreto Ecuador mi país posee quizá miles de sitios donde se dice existen grandes tesoros aun no descubiertos, ésta es la pequeña historia acerca del mayor de los tesoros aun no descubierto... EL GRAN TESORO PERDIDO DEL ÚLTIMO DE LOS EMPERADORES INCAS.

Podría escribir artículos enteros a explicar toda la historia en detalle, pero ese no es mi objetivo (a parte que no me simpatiza mucho la idea de los historiadores que escriben, escriben, y uno nunca sabe si sera o no absolutamente cierto lo que afirman...)  pero si haré una breve introducción acerca del mismo para luego pasar a presentar el problema que es la parte mas preciosa de este artículo, motivo de ésta IX edición del carnaval de matemáticas;  el mismo que nos dirá como hallar dicho tesoro.

UN POCO DE HISTORIA PARA COMENZAR CON EL RELATO....

Cuentan los libros de historia y las montañas sagradas de la cordillera de los Andes cuyas nieves perpetuas (ahora amenazadas por el calentamiento global) presenciaron dichos episodios que cuando estas tierras sudamericanas estaban siendo descubiertas y conquistadas por la Corona Española (en el caso de sudamerica y centroamerica) llegó el momento en que los conquistadores españoles se vieron obligados a enfrentar a peligrosas y temibles tribus indígenas e incáicas que dominaban estos territorios, así pues dadas las circunstancias y como en la mejor partida de ajedréz, los valientes conquistadores europeos capturaron al gran soberano y rey del territorio Inca, el poderoso ATAHUALPA, para cuyo rescate se pidió un cuarto lleno de oro y otro lleno de plata.

Cientos de nativos y esclavos empezaron a reunir en todo el territorio del Tahuantinsuyo tan preciados metales para rescate del desgraciado monarca Inca que cayó preso de los que el llamaba "hijos del sol" por su apariencia e instrumentos que usaban (armas de fuego), poco tiempo después sus captores se aburrieron y le dieron muerte al pobre monarca y al saberse de ésto, el poderoso y gran guerrero RUMIÑAHUI, nacido en estas tierras que ahora llamamos San Francisco de Quito (capital del Ecuador) decidió esconder todo el oro y plata reunidos para el rescate que jamas se concretó, pero lo hizo de tal forma que jamas nadie (se dice) podrá encontrarlo pues los conjuros con que fue guardado lo protejeran para siempre.

Para aquellos que les interese leer más acerca de la historia completa pueden dirigirse a esta página.

EL PROBLEMA DEL TESORO DE ATAHUALPA ESCONDIDO POR SU MEJOR GUERRERO.

¿como hallar dicho tesoro? he aquí la respuesta:

    

Se dice que Rumiñahui enterró el tesoro de Atahualpa en cierto lugar en el que existen una pirámide (P), un templo al sol (S) y una tumba (T) de tal modo que mirando desde la puerta del templo hacia afuera, la pirámide está a la izquierda y la tumba hacia la derecha. Para encontrar el tesoro hay que medir la distancia desde el templo hasta la tumba, luego girar en ángulo recto hacia la derecha, medir igual distancia y clavar una estaca (A). Luego medir la distancia y clavar otra estaca (B). El tesoro está enterrado precisamente en el centro de las dos estacas. Cierta persona tenía estos datos, mas cuando llegó al lugar no encontró ni rastro del templo al Sol y no pudo dar con el tesoro... sin embargo un estudiante de este libro bien pudo hallarlo. ¿como hacerlo?

Éste es un simpático ejercicio que está planteado en la sección POLIGONOS Y CUADRILATEROS en la GEOMETRIA PLANA Y DEL ESPACIO (de los autores: G. Calvache (mi maestro de geometría plana y esférica en el prepolitécnico de ingeniería) T. Rosero y M. Yacelga) profesores del área de ciencias básicas en la Escuela Politecnica Nacional del Ecuador.

En cierta ocación en uno de los deberes que me enviaron constaba este ejercicio... mas yo estudiante de aquel libro no pude dar con la solución correcta al problema, e incluso hay ocaciones en que se lo plantea en pruebas y examenes.

¿quien se anima a hallar teóricamente el gran TESORO DEL ULTIMO EMPERADOR INCA? yo lo intentare una ves mas

saludos cordiales

EL DESAFIO DEL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT QUE NI EL DIABLO PUDO RESOLVER

(esta entrada participa en la IX edicion del carnaval de matemáticas que organiza en esta ocacion el blog sentado en la trebede)



Y aqui estamos nuevamente, el blog Ciencia de Barcedavid trae esta vez una curiosa historia relacionada con el último teorema de Fermat.... ese que ni el mismo Leonard Euler en su tiempo desordenando la casa de Fermat de arriba abajo pudo encontrar la "pequeña demostración para este problema de la cual Fermat decía que no cabía en el margen de su libro... realmente la hallo o no?

....En uno de los cuentos del libro Pactos con el Diablo de Arthur Poges, “El Diablo y Simón Flagg”, el diablo invita a Flagg a hacerle una pregunta difícil. Si el diablo la responde en 24 horas, el alma de Flagg será suya; si no, le regalará 100 mil dólares. La pregunta que Simón le hace es: “¿Es cierto el último teorema de Fermat?”. El diablo desaparece y al día siguiente reconoce su derrota: “Tú ganas, Simón —dijo casi en un susurro, mirándolo con un respeto absoluto—. Ni siquiera yo puedo aprender en tan poco tiempo las matemáticas requeridas para un problema tan difícil. Cuanto más indago sobre él, más difícil se torna”. Flagg sin duda fue astuto, veamos por qué.

Hace más de 300 años el genial matemático francés Pierre de Fermat, refiriéndose a un teorema que registró en su ejemplar de la Aritmética de Diofanto, escribió: “Poseo una demostración en verdad maravillosa para esta afirmación que no cabe en este estrecho margen”. Un teorema es una afirmación matemática que ha sido demostrada, fuera de toda duda, de modo que los matemáticos reconozcan la validez de la demostración (antes de que esto suceda, se trata sólo de una conjetura). La aseveración de Fermat sobre una atractiva afirmación matemática significó, por siglos, uno de los más grandes enigmas para los matemáticos. Tratando de “redescubrir” esa demostración del que ha sido conocido como el último teorema de Fermat, los matemáticos han recorrido muchos caminos, creando novedosas teorías, descubriendo nuevos teoremas, planteando interesantes conjeturas y, también, enfrentándose con grandes decepciones. Finalmente, en 1995, el enigma fue descifrado.

El matemático inglés Andrew Wiles, después de años de trabajo, logró encontrar una complicada, pero elegante demostración para este resultado. Por cierto, hoy en día nadie cree que Fermat haya tenido una demostración; por tanto, el último teorema de Fermat no lo fue sino hasta que Wiles lo demostró...

TEOREMA DE FERMAT:

Sea n > 3,  n elemento de los naturales; no existen números enteros distintos de cero X, Y, Z, tales que se cumpla la ecuación:

     n     n    n

X  + Y = Z

Demostración:
(este espacio es demasiado pequeño como para contener una demostracion de tan alto valor)

(fuente)

Propiedad Arquimediana de los Números Naturales

(esta entrada participa en la 7ma edición del carnaval de matemáticas cuyo anfitrión es el blog El Maquina de Turing)

Un teorema bastante "sencillo"

TEOREMA:

Sea "x" un número real positivo e "y" un número real cualquiera, entocnes existe un entero positivo "n" tal que nx>y

DEMOSTRACIÓN:

Puesto que el conjunto de los enteros positivos no es acotado superiormente, existe n elemento del conjunto de los enteros positivos tal que n > (y/x) de donde se sigue que nx >y ▄

La propiedad arquimediana de los números reales tiene la siguiente interpretación geométrica:

Si tenemos dos segementos de recta uno tan largo como queramos de longitud Z y el otro de lingitud tan corto como queramos de longitud X, tomando un número suficientemente el nuúero de veces el segmento pequeño, podemos cubrir el segmento grande asi:

________________________________________________
(segmento de longitu Z)


________
(segmento de longitu X)


Utilizando la propiedad arquimediana se puede demostrar con alguna dificultad y sin usar interpretaciones decimales que el conjunto de los números racionales es denso ( es decir que todos sus puntos son de acumulación) en el conjunto de los numeros reales, a partir de este último resultado se puede deducir también que el conjunto de los números irracionales también es denso en el conjunto de los reales. ▄

He escrito esta entrada especialmente para esta séptima edición del carnaval de matemáticas, disculpen ustedes amigos matemáticos la sencillez del mismo, hice lo mejor que pude en el corto tiempo que dispuse.

Saludos cordiales

EL COLMO DE UN OLVIDADIZO

JAMES JOSEPH SYLVESTER

En ocaciones, olvidamos cosas que usualmente son importantes para alguna de nuestras actividades diarias, éste fue el caso del matemático inglés James Joseph Sylvester que solia olvidar (tal era su grado de distracción) incluso algunos teoremas que debía volver a deducir frecuentemente para poder usarlos... sin embargo dentro de su campo fue uno de los mas grandes matemáticos ingleses del siglo XIX, éste es un breve ensayo de su interesante biografía.

Con esta entrada el blog Ciencia de BarceDavid participa en la VI edición del carnaval de matemáticas cuyo anfitrion es el blog Sangakoo)

Para el estudiante que tiene dificultad en recordar los teoremas podría consolarle el saber que almenos, uno de los mas grandes matemáticos tenia esas dificultades. El matemático inglés James Sylvester (1814 - 1897) que tanto se destacó en el siglo XIX tenía que deducir de nuevo y con mucha frecuencia los teoremas que había de utilizar, Una vez incluso objetó un teorema expuesto por un colega suyo insistiendo que nunca se había demostrado... resultó ser que él mismo había descubierto, demostrado y publicado en una revista.

Otro hecho que indica hasta donde llegaba su grado de distracción sucedió en una reunión pública cuando Sylvester que además tenía talento poético quizo recitarles un poema de 400 versos rimando todos con la palabra "Rosalind" Reunido ya con sus amigos para declamar el poema empezó explicando las notas aclaratorias, entusiasmándose tanto en sus pequeños detalles que no se dio cuenta del tiempo que transcurría ni del cansancio de sus oyentes. De pronto se dio cuenta que había hablado hora y media sin haber recitado ni una sola línea del poema.

Esto sucedió durante los años felices en que Sylvester vivió en la Universidad de Johns Hopkins. años atrás había rechazado bruscamente un profesorado en una universidad norteamericana debido a que el prefecto no había castigado a un estudiante en la forma en que Sylvester, un inglés pensaba era adecuado.

No obstante lo distraido que fue Sylvester, era un genio de la investigación matemática universitaria, fue una persona que en su época, trabajó para establecer los estudios y las investigaciones matemáticas para graduados de los Estados Unidos. Una de sus muchas contribuciones para el avance de las matemáticas fue la fundación de la revista norteamericana "American Journal of Mathematics"

UN POCO DE SU VIDA:

• Junto con Arturo Caley fundó la teoría de los invariantes algebraicos
• en 1838 Sylvester se hizo profesor de Filosofía Natural en la Universidad de Londres.
• en 1841 aceptó el profesorado de matemáticas en la Universidad de Virginia Charlottesville, fue relegado de sus funciones transcurridos tres meses de aquello; 4 años después viajo a Londres donde se inició como escribano para una compañía de seguros mientras solo retenía su interés en la matemática a través de la enseñanza.
• En 1846 se convierte en estudiante de derecho y jurisprudencia y más tarde trabajando como abogado Joseph empezó una sociedad amigable con Caley.
• Caley y Sylvester se conocieron en 1850 no como matemáticos sino como abogados, se hicieron muy amigos uno del otro, su relación tuvo influencia recíproca de la cual salió en favor de las matemáticas y en perjuicio de la jurisprudencia.
• Sylvester se conservó en la cátedra hasta el año 1870 en que fue jubilado por imperativo legal.
• Escribió un libro llamado "THE LAW OF VERSE" en 1870
• Joseph realizó una labor de divulgación matemática a través de la American Journal of Mathematics que fundó en 1875 provocando una verdadera revolución en la enseñanza de las matemáticas y cuando regreso en 1885 a Ingalterra com profesor de Oxford
• Pidió un puesto de trabajo en la escuela Militar de Woolwich el cual le fue negado lo que implico que siguiera trabajando en la compañía de seguros
• Permaneció unos años mas realizando una labor de burócrata, al haber una vacante en el Gresham Collage de Londres la solicitó pero se la negaron, en cambio fue solicitado por la Academia Woolwich para sustituir al candidato que lo habia derrotando antes.... porque éste acababa de morir.
  

B. David

FUENTES:

• GEOMETRÍA MODERNA (JURGENSEN - DONNELLY - DOLCIANI)

SECCIONES CÓNICAS QUE DISUELVEN... ¡¡¡CÁLCULOS RENALES!!!

PROPIEDAD DE REFLEXIÓN DE LAS CURVAS CÓNICAS

(LA ELIPSE)

¿Quien dijo que la matemática es muy difícil de aplicar a la vida diaria? Pues para aquellos que creen que las matemáticas no tienen aplicaciones SUPER INTERESANTES Y CURIOSAS aquí les dedico una pequeñisima muestra del inconmensurable poderío que las matemáticas ejercen en el desarrollo tecnológico actual y futuro y el auxilio que presta a otras disciplinas científicas.


(Con éste articulo, el blog Ciencia de BarceDavid participa en la VI edición del carnaval de matemáticas cuyo anfitrión sera el blog Sangakoo)

Cualquier estudiante de bachillerato (o preparatoria como se le conoce en otros países) ha estudiado alguna vez en su vida académica las comúnmente conocidas como secciones cónicas o simplemente "las cónicas" y dentro de éstas la que nos interesa ahora... LA ELIPSE.


Conviene que recordemos pues algunas de sus definiciones para nuestros propósitos.


Definición: La elipse es un lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una contante positiva. Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. (fuente: wikipedia)

• 
  El cociente c/a recibe el nombre de excentricidad (donde a es la mitad de la suma (o la semisuma) de las distancias de los focos F1 y F2 al punto P, y c es el centro de la la elipse)



• El punto (h , k) situado a la mitad del camino entre los focos se llama centro



• Los puntos de intersección de una elipse y la recta que pasa por los focos se llaman vértices



• El segmento de recta que une los vértices es el eje mayor



• La parte de la recta que pasa por el centro perpendicularmente al eje mayor e intersecada por la elipse es el eje menor

Con esta imagen animada, podemos observar la propiedad que caracteriza a una elipse, la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos siempre es constante positiva.




Con esta sencilla, pero necesaria introducción ya estamos listos para saber como una cónica puede ser capaz de disolver cálculos renales.


Toda elipse tiene una notable propiedad de reflexión. Supóngase por ejemplo que un rayo de luz parte de uno de los focos y se dirige en línea recta hacia cualquier punto de la elipse, este rayo se reflejara en la elipse como si se estuviese reflejando en la recta tangente a la elipse en ese punto, después de reflejarse viajará en otra línea recta, y lo hará de tal modo que pasará por el otro foco.
En otras palabras, los rayos provenientes de uno de los focos de una elipse se reflejan en dirección al otro foco. Sean F y G los focos de una elipse. El siguiente gráfico muestra un punto P sobre la elipse y la recta tangente a la elipse en P. El ángulo que forma el "rayo incidente" FP con la recta tangente es igual al que forma el "rayo reflejado" GP del otro lado.





Esta propiedad de reflexión es la base del novísimo método de ultrasonido para disolver cálculos renales.
Se hace una tina rotando una elipse alrededor de su eje mayor. En esa tina, el paciente se coloca de manera que el cálculo quede situado exactamente en uno de los focos de la elipse, mientras que en el otro foco se coloca una fuente de vibraciones sónicas. Cuando esta fuente se enciende, todas las vibraciones se reflejan en las paredes de la tina y se concentran en el cálculo que afecta al paciente deshaciéndolo o triturándolo.

Falta por saber que opinaría algún profesional de la medicina luego de leer este brevisimo tratado sobre secciones cónicas y sus poderosos recursos para disolver cálculos renales... y algún paciente que se decida a probar esta tecnología.

¿alguien se anima?

saludos cordiales

B. David


FUENTES:

• Algebra de Rees - Sparks - Rees (10ma edición)
• http://centros.edu.xunta.es/

PROBLEMA DE SUCESIONES

Este ejercicio fue propuesto en el libro "MATEMÀTICAS, CURSO PREUNIVERSITARIO" cuyos autores son los matemáticos Sylvie Esquerré, Jorge Lara, Rolando Sáenz del Centro de Matemática de la Universidad Central del Ecuador.

Mucha dificultad, largas noches de cálculos, varios meses de fallido intento y mas de un dolor de cabeza me produjo este solo ejercicio que consta de 4 items, finalmente mi maestro el matemático Hernan Benalcazar que también pertenece al Centro de Matemática de la Universidad Central del Ecuador nos mostros que para dar soluciónes al mismo (lo resolvimos entre todos en un curso de análisis matemático I) se necesitan no menos de dos horas de tiempo... ¡ y a mi me lo pusieron para un examen final de matematicas basicas de una hora de duración...!

Intenta resolverlo estimado visitante, es un excelente ejercicio que verdaderamente prueba tus habilidades y destrezas matemáticas.

EXITO!!!

Ejercicio número 15 (pag 41)

Sea n∈ N, n ≥2; y las sucesiones definidas como:

n

Un = ∑ 1/k!
k=0

n
Vn = ∑1/k!+1/n!
k=0

a)Mostrar que las sucesiones (Un) y (Vn) ∀ n ≥2 son dos sucesiones de números racionales

b)Mostrar que (Un) y (Vn) son adyacentes

c)Con un razonamiento por el absurdo, demostrar que su límite común es un número irracional

d)Calcular los 10 primeros términos de ambas sucesiones y verificar que ( U10) es un valor aproximado del número ℮ a 3 x (10)^-8 aproximadamente.