sábado, 28 de abril de 2012

Sir Andrew Wiles y la demostración del último teorema de Fermat


(Esta entrada participa en la edicion 3.141 del carnaval de matemáticas cuyo anfitrion para este mes de abril es DesEquiLIBROS)
Hace algún tiempo habiamos hablado de el último teorema de Fermat mediante un singular desafio, el desafio del último teorema de Fermat que ni el diablo pudo resolver del libro de cuentos de Arhtur Poges vimos como un inteligente y astuto Simon Flag pacta con el diablo entregarle su alma en un plazo de 24 horas si éste (el diablo) era capáz de decirle con total certeza si es o no es verdad el último teorema de Fermat. Pasadas las 24 horas regresa el diablo y le dice a Flag "tu ganas Simon, ni siquiera yo soy capaz en tan poco tiempo de aprender las matemáticas necesarias para tan complicado problema, pues mientras más lo analizo mas dificil se torna"

Bueno, el diablo no pudo resolverlo en 24 horas (y perdio su apuesta) pero en 1995 Sir Andrew Wiles, un matemático inglés si pudo hacerlo, en muchisimo más que 24 horas, claro está (7 años para ser exacto fue lo que le llevó a Wiles demostrar la veracidad del teorema) no sin antes utilizar complejos procedimientos matemáticos y sofisticadas herramientas de análisis numérico con las cuales poco a poco construyó una demostración completa de 98 paginas. (Wiles literalmente se encerró en su casa y trabajo arduamente en un problema que frustró a matemáticos por mas de 300 años desde la muerte de Fermat en 1665)

En esta oportunidad hecharemos un vistazo al trabajo de Sir Andrew Wiles, la demostración del último teorema de Fermat que le valio un lugar en la historia de la ciencia en un documental subtitulado que relata resumidamente el trabajo metódico de Wiles y otros matemáticos que contribuyeron con este objetivo.

Luego los invito a leer una sencilla pero objetiva biografía de Pierre de Fermat, un jurista de profesión y matemático de afición que entre otros trabajos que realizó le valieron un lugar en la historia de ésta diciplina.

El último teorema de Fermat (llamado así por ser el último de los resultados que a Fermat se atribuía pero no había sido demostrado) afirma que si n > 2, entonces la ecuación xn + yn = zn no tiene soluciones enteras positivas. Cuando n = 2, se tiene el teorema de Pitágoras y a los enteros que lo cumplen se les conoce como 'ternas pitagoricas'. Por ejemplo, 32 + 42 = 52.


"duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet"
(Es imposible dividir un cubo en suma de dos cubos, o un bicuadrado en suma de dos bicuadrados,
o en general, cualquier potencia superior a dos en dos potencias del mismo grado;
he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación.
Pero este margen es demasiado angosto para contenerla
.)

Pierre de Fermat

BIOGRAFIA

El padre de Pierre Fermat era un rico comerciante y cónsul segundo de Beaumont - de - Lomagne. Pierre tuvo un hermano y dos hermanas y casi de seguro creció en el lugar dónde nació.
Nació: 17 de agosto de 1601 en Beaumont-de-Lomagne, Francia
Murió: 12 de enero de 1665 en Castres, Francia
Aunque hay poca evidencia respecto a su educación escolar, debe haber sido educado en el monasterio franciscano del lugar.
 
Asistió a la Universidad de Toulouse antes de mudarse a Burdeos durante la segunda mitad de la década de 1620. En Burdeos comenzó sus primeras investigaciones científicas serias y en 1629 le dio a uno de los matemáticos de allí su restauración del Plane loci de Apolonio. Sin duda estuvo en contacto con Beaugrand en Burdeos y durante esa época produjo importantes trabajos sobre máximos y mínimos que le entregó a Étienne d'Espagnet quien compartía con Fermat sus intereses matemáticos.
Desde Burdeos, Fermat fue a Orleáns donde estudió leyes en la Universidad. Obtuvo el grado en ley civil y compró las oficinas de consejero en el parlamento de Toulouse. Así que para 1631, Fermat era abogado y oficial gubernamental en Toulouse y gracias al puesto que ocupaba tuvo el derecho de cambiar su nombre de Pierre Fermat a Pierre de Fermat.
El resto de su vida la pasó en Toulouse pero además de trabajar allí también lo hizo en su pueblo natal, Beaumont-de-Lomagne, y en la cercana ciudad de Castres. Desde su nombramiento el 14 de mayo de 1631, Fermat trabajó en la cámara baja del parlamento pero el 16 de enero de 1638 fue nombrado a la cámara alta; en 1652 fue promovido ala nivel más alto de la corte criminal. Más promociones parecen indicar una subida casi meteórica en su profesión pero estas se daban mayormente por antigüedad y como la peste azotó la región a principios de la década de 1650, muchos hombres mayores murieron. Fermat mismo sufrió la peste y en 1653 su muerte fue erróneamente anunciada y después corregida:
Le informé antes de la muerte de Fermat. Él está vivo y ya no tememos por su salud, aunque lo habíamos contado entre los muertos no hace mucho.
El siguiente reporte, hecho a Colbert, la figura principal en Francia en ese entonces, tiene un dejo de verdad:
Fermat, un hombre de gran erudición, tiene contacto con hombres de conocimiento por todos lados. Pero él está más bien preocupado, no reporta bien sus casos y está confundido.
Por supuesto que Fermat se preocupaba por las matemáticas. Mantuvo su amistad matemática con Beaugrand después de mudarse a Toulouse pero allí encontró un nuevo amigo matemático, Carcavi. Fermat lo conoció profesionalmente ya que ambos eran consejeros en Toulouse pero como compartían el amor por las matemáticas, Fermat le contó a Carcavi sobre sus descubrimientos.
En 1636 Carcavi fue a Paris como bibliotecario real e hizo contacto con Mersenne y su grupo. Las descripciones que Carcavi hizo de los descubrimientos de Fermat sobre cuerpos que caen, despertaron el interés de Mersenne, quien le escribió a Fermat. Fermat contestó el 26 de abril de 1636 y, además de decirle a Mersenne sobre errores que él creía que había hecho Galileo en su descripción de la caída libre, también se refirió a su trabajo sobre espirales y su restauración del Plane loci de Apolonio. Su trabajo sobre espirales había sido motivado al considerar la trayectoria de los cuerpos que caen libremente y había usado métodos generalizados a partir de la obra sobre espirales de Arquímedes para calcular áreas bajo las espirales. Además Fermat escribió:
También he encontrado muchos tipos de análisis para diversos problemas, tanto numéricos como geométricos, para los que el análisis de Viète no hubiera bastado. Voy a compartir todo esto con usted cuando guste y lo haré sin ambición alguna, ya que estoy más exento y distante de ella que ningún hombre en el mundo.
Resulta un tanto irónico que este contacto inicial entre Fermat y la comunidad científica se haya dado a través de su estudio de la caída libre ya que Fermat tenía poco interés en las aplicaciones de las matemáticas a la física. Aun con sus resultados sobre la caída libre, estaba mucho más interesado en probar teoremas geométricos que en la relación entre éstos y el mundo real. No obstante, esta primera carta sí contenía dos problemas sobre máximos que Fermat pidió a Mersenne que pasara a los matemáticos de Paris y esto se convertiría en es estilo típico de las cartas de Fermat: retar a otros a encontrar resultados que él mismo ya había conseguido.
Roberval y Mersenne se dieron cuenta de que los problemas en esta carta de Fermat, y en las subsecuentes, eran extremadamente difíciles y por lo general no podían resolverse usando las técnicas de la época. Le pidieron divulgar sus métodos y Fermat envió a los matemáticos de Paris sus Métodos para encontrar máximos y mínimos y tangentes1 de líneas curvas, su texto restaurado del Plane loci de Apolonio y su acercamiento algebraico a la geometría, Introducción a los lugares geométricos2 planos y sólidos.
Su reputación como uno de los principales matemáticos del mundo creció rápidamente pero los intentos de publicar su obra fracasaron, sobre todo porque Fermat nunca quiso realmente pulir sus trabajos. Sin embargo, algunos de sus métodos sí fueron publicados; por ejemplo, Hérigone añadió un suplemento con los métodos de Fermat para máximos y mínimos a su obra más importante, Cursus mathematicus. La amplísima correspondencia entre Fermat y otros matemáticos no encontró elogios generalizados. Frenicle de Bessy se molestó con los problemas de Fermat que él encontraba imposibles. Le escribió enojado pero, aunque Fermat le dio más detalles en su contestación, Frenicle de Bessy creía que Fermat se estaba casi burlando de él.
A pesar de esto, Fermat pronto se vio involucrado en una controversia con un matemático mucho más importante que Frenicle de Bessy. Beaugrand le había enviado una copia de La Dioptrique de Descartes a la cual Fermat le puso poca atención ya que estaba ocupado con su correspondencia con Roberval y Étienne Pascal sobre los métodos de integración y usándolos para encontrar centros de gravedad. Mersenne le pidió que le diera su opinión sobre La Dioptrique, obra que Fermat describió diciendo que
                                  anda a tientas en la obscuridad.
Afirmó que Descartes no había deducido correctamente su ley de la refracción3 ya que era inherente a sus supuestos. Decir que Descartes no quedó complacido, sería quedarnos cortos. Descartes pronto encontró motivos para enojarse aún más ya que consideró que la obra de Fermat sobre máximos, mínimos y tangentes reducía la importancia de su propio trabajo La Géométrie, del cuál Descartes estaba orgullosísimo.
 Descartes atacó el método de Fermat para máximos, mínimos y tangentes. Roberval y Étienne Pascal se involucraron en la discusión y finalmente también lo hizo Desargues, a quien Descartes pidió que actuara como árbitro. Se demostró que Fermat estaba en lo correcto y al final Descartes lo admitió, escribiendo que:
al ver el último método que usted usa para encontrar tangentes a líneas curvas, no puedo contestar más que es muy bueno y que, si lo hubiera explicado de este modo desde el principio, nunca lo hubiera contradicho.
¿Fue esto el fin del asunto y aumentó la fama de Fermat? En lo absoluto ya que Descartes trató de dañar la reputación de Fermat. Por ejemplo, aunque le escribió a Fermat alabando su trabajo para determinar la tangente de una cicloide4 (que era correcto), Descartes se escribió a Mersenne afirmando que era erróneo y diciendo que Fermat era pobre como matemático y pensador. Descartes era importante y respetado y por ello logró dañar severamente la reputación de Fermat.
Durante el periodo de 1643 a 1654, Fermat no tuvo contacto con sus colegas científicos de París. Hay varias razones para ello. En primer lugar, la presión del trabajo le impidió dedicarle tanto tiempo a las matemáticas. En segundo, Francia vivió la Fronde, una guerra civil y desde 1648 Toulouse se vio fuertemente afectada. Finalmente, estuvo la peste de 1641 que debe haber tenido terribles consecuencias tanto para la vida en Toulouse como sus casi fatales consecuencias para Fermat. A pesar de ello, fue durante estos años que Fermat trabajó en la teoría de números5.
 Fermat es más famoso por este trabajo en teoría de números, en particular por el último teorema de Fermat6. Este teorema afirma que:
xn + yn = zn
no tiene soluciones enteras distintas de cero para x, y y z cuando n > 2. Fermat escribió, en el margen de la Arithmetica de Diofanto, traducida por Bachet, que:
He descubierto una prueba verdaderamente maravillosa pero este margen es demasiado pequeño para contenerla.
Estas notas al margen solo salieron a la luz cuando Samuel, el hijo de Fermat, publicó una edición de la Arithmetica de Diofanto, traducida por Bachet, con las notas de su padre en 1670.
Hoy se cree que la 'prueba' de Fermat estaba equivocada aunque es imposible estar completamente seguros. La veracidad de la aseveración la probó el matemático británico Andrew Wiles en junio de 1993, pero Wiles retiró su afirmación de tener una demostración cuando surgieron problemas más adelante en ese mismo año. En noviembre de 1994, Wiles de nuevo afirmó tener la demostración correcta, la cual ya ha sido aceptada.
 Intentos infructuosos de demostrar el teorema durante 300 años llevaron al descubrimiento de la teoría de anillos conmutativos y abundantes otros descubrimientos.
 La correspondencia de Fermat con los matemáticos de París se reinició en 1654 cuando Blaise Pascal, hijo de Étienne Pascal, le escribió pidiéndole la confirmación de sus ideas sobre probabilidad7. Blaise Pascal sabía de Fermat gracias a su padre, quien había muerto tres años antes, y estaba consciente de las sobresalientes habilidades matemáticas de Fermat. Su breve correspondencia sentó las bases de la teoría de probabilidad y por ellos hoy se les considera como los cofundadores de la materia. Fermat, sin embargo, sintiendo su aislamiento y queriendo aún adoptar su antiguo estilo de retar a los matemáticos, trató de cambiar el tema de la probabilidad a la teoría de números. Pascal no estaba interesado pero Fermat, al no darse cuenta de ello, le escribió a Carcavi diciendo:
Estoy encantado de haber tenido las opiniones del Sr. Pascal, ya que tengo en gran estima a su genio. [...] ustedes dos podrían emprender esa publicación, de la cual consiento que ustedes son los maestros, pueden aclarar o complementar lo que les parezca demasiado conciso y liberarme a mí de una carga que mis obligaciones me impiden tomar.
Sin embargo, no cabe duda de que Pascal no iba a editar el trabajo de Fermat y después de este momentáneo deseo de publicar su obra, Fermat abandonó la idea. No obstante, fue mucho mas lejos que nunca en sus problemas-reto:
Dos problemas matemáticos que el Señor Fermat, consejero del Rey en el Parlamento de Toulouse, planteo como irresolubles a matemáticos franceses, ingleses, holandeses y de toda Europa
Sus problemas no consiguieron despertar mucho interés ya que la mayoría de los matemáticos parecían pensar que la teoría de números no era un tema importante. El segundode los dos problemas, encontrar todas las soluciones de Nx2 + 1 = y2 para N que no sea un cuadrado, fue sin embargo resuelto por Wallis y Brouncker quienes desarrollaron fracciones continuas8 en su solución. Brouncker produjo soluciones racionales9 las cuales provocaron discusiones. Frenicle de Bessy fue talvez el único matemático de la época que estaba realmente interesado en la teoría de números pero no tenía el talento matemático suficiente que le permitiera hacer una contribución importante.
Fermat planteó más problemas como que la suma de dos cubos no puede ser un cubo (un caso especial del Último Teorema de Fermat, lo que puede indicar que para ese entonces Fermat se había dado cuenta que su prueba del resultado general era incorrecta), que hay exactamente dos soluciones enteras a x2 + 4 = y3 y que la ecuación x2 + 2 = y3 tiene sólo una solución entera. Planteó problemas directamente a los ingleses. Ninguno logró ver que Fermat tenía la esperanza de que sus problemas específicos los llevaran a descubrir, como lo había hecho él, resultados teoréticos más profundos.
Por ese entonces, uno de los discípulos de Descartes estaba recolectando su correspondencia para publicarla y pidió a Fermat ayuda con las cartas entre Fermat y Descartes. Esto llevó a Fermat a revisar de nuevo los argumentos que había usado veinte años antes y revisó también sus objeciones a la óptica de Descartes. En particular, había estado descontento con la descripción de Descartes de la refracción de la luz y ahora se conformó con un principio que de hecho produjo la ley de los senos de la refracción que Snell y Descartes habían propuesto. Sin embargo, Fermat la había ya deducido a partir de una propiedad fundamental que el proponía, que la luz siempre sigue el camino más corto posible. El principio de Fermat, hoy en día una de las propiedades básicas de la óptica, no fue bien recibido por los matemáticos de la época.
 En 1656, Fermat había empezado a tener correspondencia con Huygens. Esto surgió del interés de Huygens por la probabilidad y las cartas pronto fueron dirigidas por Fermat hacia temas de teoría de números. Este tema no le interesaba a Huygens pero Fermat intentó insistentemente y en Nuevo recuento sobre descubrimientos en la ciencia de los números le envió a Huygens en 1659, vía Carcavi, reveló más de sus métodos de lo que había hecho con otros.
Fermat describió su método de descenso infinito y dio un ejemplo de cómo podía usarse para demostrar que cada primo10 de la forma 4k + 1 podía escribirse como la suma de dos cuadrados. Supongamos que algún número de la forma 4k + 1 no pudiera escribirse como la suma de dos cuadrados. Entonces hay un número más pequeño con la misma forma que no puede escribirse como la suma de dos cuadrados. Continuando el argumento, se llega a una contradicción. Lo que Fermat no consiguió explicar en esta carta es cómo se construye el número más pequeño a partir del grande. Se supone que Fermat sabía hacer este paso pero nuevamente su fracaso al revelar el método hizo que los matemáticos perdieran interés. Los pasos faltantes solo fueron completados cuando Euler retomó estos problemas.
 Fermat es descrito en [6] como:
Reservado y taciturno, no le gustaba hablar de sí mismo y odiaba revelar mucho de su pensamiento. ... Sus ideas, sin importar cuán originales o novedosas, operaban dentro de un rango de posibilidades limitado por su época [1600 - 1650] y su lugar [Francia].
Carl B Boyer, escribiendo en [2], dice:
El reconocimiento de la importancia del trabajo sobre análisis de Fermat fue tardío, en parte por que se adhirió al sistema de símbolos matemáticos creado por François Viète, notaciones que la Geometría de Descartes había vuelto mayormente obsoletas. La desventaja impuesta por notaciones difíciles fue menos severa en el campo de estudio favorito de Fermat, la teoría de números, pero aquí, desafortunadamente, no encontró un corresponsal con quien compartir su entusiasmo.
Hacia 1660, su salud empieza a flaquear, y el 12 de enero de 1665 muere en la ciudad de Castres donde pocos días antes ha asistido a la sesión del tribunal del Edicto.
Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson
MacTutor History of Mathematics Archive
Glosario de términos
1.      Una tangente a una curva en el punto p es la mejor aproximación lineal a la curva cerca de ese punto. Puede verse como el límite de todas las secantes desde el punto p a otros puntos cercanos a p. Si dos curvas tienen una tangente común en el punto de intersección, entonces se dice que las curvas se tocan o son tangentes.
2.      Un lugar geométrico es el conjunto de puntos que comparten una propiedad común.
Por ejemplo, una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo (centro) es constante; a esa distancia se le llama radio.
3.      La refracción es el cambio de dirección de un haz de luz cuando pasa de un medio a otro como, por ejemplo, del aire al agua o vidrio.
4.      Una cicloide es la curva que se traza un punto fijo sobre una circunferencia cuando esta gira, sin resbalar, sobre una recta.
5.      La teoría de números es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números naturales N. Incluye temas como los números primos (incluyendo el teorema de los números primos), la reciprocidad de cuadrados, las formas cuadráticas, la aproximación diofantina y las ecuaciones diofantinas, los campos de números algebraicos, el último teorema de Fermat y los métodos desarrollados para demostrarlo.
6.      El último teorema de Fermat (llamado así por ser el último de los resultados que Fermat se atribuía pero no había sido demostrado) afirma que si n > 2, entonces la ecuación xn + yn = zn no tiene soluciones enteras positivas.
Cuando n = 2, se tiene el teorema de Pitágoras y a los enteros que lo cumplen se les conoce como 'ternas pitagoricas'. Por ejemplo, 32 + 42 = 52.
7.      La teoría de probabilidad estudia los posibles resultados de eventos o sucesos aleatorios junto con su distribución. De hecho hay un debate importante sobre lo que significa probabilidad en la práctica. Algunos matemáticos la consideran una simple componente de una teoría abstracta mientras que otros le dan una interpretación basada en las frecuencias de ciertos resultados.
8.      La expansión en fracciones continuas de un número x es una expresión que tiene la forma: [*] Si x es un número racional, esta expansión termina.
9.      Un número racional es un número real que puede escribirse como el cociente (división) de dos números enteros. Ejemplos: 2/3, 0.333333..., 2
10.  Un número entero > 1 es primo si es divisible solamente por sí mismo y la unidad (1). Al número 1 no se le considera primo. Todo entero positivo puede escribirse como un producto de primos de manera única.
 [*] expansión en fracciónes continuas
Curiosidades:
· Nunca ejerció las matemáticas de forma profesional, dedicaba a ellas su tiempo libre
· Solía escribir en los márgenes de los libros que leía.
· Cinco años antes de su muerte, se anunció erróneamente su muerte por una epidemia de peste.
· Durante siglo los matemáticos más famosos han intentado demostrar su último teorema.
· Nunca quiso realmente pulir sus trabajos.
· Euler rompió la hipótesis sobre sus números primos.
· Newton afirmo que se había apoyado en los descubrimientos de Fermat sobre tangentes, máximos, mínimos y su notación para sus trabajos.
· Dominaba la mayoría de los idiomas de su época.
· Existe una leyenda (falsa) que dice que murió durante una audiencia en el propio tribunal, en realidad murió poco después de la misma.
· Usaba E para designar Dx.
· No está clara la razón de la negativa de Fermat a publicar.
· Mersenne le preguntó si el número 100895598169 era primo o no, después de varios años, le respondió que ese número es el producto de 112303 por 898433 y que ambos son primos. Hoy día no se sabe todavía como lo pudo hacer.
· Tuvo una controversia matemática (sobre cómo obtener máximos, mínimos y tangentes) con Descartes, que al final se demostró que él tenía razón y Descartes estaba equivocado.
· La irritación que Fermat producía en Descartes queda muy bien reflejada en una frase de este último: “Fermat es gascón. Yo no.”
· En su honor hay un cráter lunar que lleva su nombre: Cráter Fermat.
· Hoy se cree que la 'prueba' de Fermat (para su último teorema) estaba equivocada aunque es imposible estar completamente seguros.
· El matemático británico Andrew Wiles en noviembre de 1995 demostró este teorema.
Bibliogragfia:
Biografía en Encyclopaedia Britannica.
Biografía en Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).
http://vimeo.com/el ultimo teorema de fermat
http://www.educared.org/global/premiointernacional/finalistas/710/biograf/Bfermat.html
http://www.astroseti.org/articulo/3550/



1 comentario:

  1. con respecto a la pregunta que le hizo Mersenne que si el número 100895598169 era primo o no, el segundo numero de su respuesta es 898423 y no 898433 como esta publicado, separando este pequeño error me parece muy interesante la solucion que se le dio al ultimo teorema de fermet

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