jueves, 27 de enero de 2011

PARADOJAS MATEMÁTICAS

(ésta entrada participa en la X edición del carnaval de matemáticas cuyo anfitrión para esta edición es Francis (th)E mule Scince's News)


Se llaman PARADOJAS MATEMÁTICAS a ciertos resultados notoriamente falsos que parecen deducirse de demostraciones rigurosas, pero durante las cuales se ha efectuado una operación que no tiene sentido, o un razonamiento erróneo, o una construcción geométrica cuyo trazado no es correcto.

A continuación expondré algunas de ellas:

PARADOJA NUMERO 1:

Sean dos números iguales a y b con "a" elemento de los Naturales y "b" tambien elemento de los Naturales y distintos de cero,  escribiremos:
  • a = b
Multipilicando ambos lados de ésta igualdad por el mismo número "a" (lo cuál es absolutamente válido) obtenemos:
  • a² = ab
Ahora restamos de ambos lados el mismo número " b² " (lo cuál es absolutamente válido) tenemos:
  • a² - b² = ab - b²
Ésta última expresión puede escribirse asi (factorando en ambos lados):
  • (a + b)(a - b) = b(a - b)
Dividiendo por (a - b) ya que ambos términos (a y b) son distintos de cero tenemos:
  • a + b = b
Pero como al inicio asumimos que a = b entonces podemos escribir:
  • b + b = b
  • 2b = b
De donde finalmente se obtiene que:
  • 2 = 1  ¿?
¿Donde esta el error? El mismo radica en que si asumino al inicio que a y b son elementos del conjunto de los naturales y ambos distintos de cero, ademas que a = b entonces a - b = 0 y la división por cero NO ESTA PERMITIDA de allí que evidentemente 2 no es igual a 1 █


PARADOJA NUMERO 2:

Sea el triángulo ABC y los puntos M, N, P los puntos medios de sus lados.
Tracemos las rectas MP y NP:
Por haberse formado un paralelogramo MPNC resulta:  
AN + NP + PM + MB =AC + CB
Efectuando una construcción análoga para los triángulos ▲ANP y ▲PBM y continuando indefinidamente de este modo, vemos que los segmentos divididos sucesivamente formados tienen siempre su longitud igual a AC + CB.  Como la longitud de los segmentos que forman los segmentos más pequeños disminuye constantemente y sus vértices se aproximan cada vez más a la recta AB decimos entonces que:
En el límite, el perímetro de los segementos divididos llega a confundirse con el segmento AB y por consiguiente:
  • AB = AC + CB  ¿?
Esta paradoja se explica por la falsa interpretación del  término <<límite>> cuya definición precisa es:

Se dice que una magnitud variable x tiende hacia un límite determinado A, si los valores sucesivos de x se aproximan al número A de modo que el valor absoluto de la diferencia (x - A) pueda llegar a ser menor que todo número positivo dado, por mas pequeño que éste sea, usando notación matemática se tiene:


Lim (x→a) f(x) = L si para todo  > 0 existe un δ > 0 tal que:
si  0 < │x - a│<   entonces│f(x) - L│< 

En este ejemplo x y A son respectivamente, el perímetro de los segmentos divididos y la longitud del lado AB. Pero x  es constante y no variable, y la diferencia (x - A) es también constante.

No siendo lícito aplicar la noción de límite a magnitudes que no satisfacen las condiciones de la definición antes descrita; no es de extrañarse pues que en el caso tratado se haya llegado a un resultado por demas ABSURDO! █



PARADOJA NUMERO 3:

Vamos ahora a demostrar con un razonamiento parecido al anterior que una semicircunferencia es igual a su diámetro.

Para esto vamos a trazar dos semicircunferencias que tengan por diámetros los radios OA = OB = R de una semicircunferencia dada. Ésta última Esta última tiene por longitud  πR , y la suma de las otras dos es:

π(1/2 R) + π(1/2 R) = πR  osea igual a la primera.

Continuando con la misma construcción indefinidamente, sse tiene siempre la misma longitud πR para la línea formada por las 4, 8, 16, ... circunferencias, las que por ser cada vez menores, nos inducen a decir que forman una línea que se confunde con el diámetro AB, osea πR = AB █



Saludos cordiales.


Fuentes:
(El hombre que calculaba - Malva Tahan)

7 comentarios:

  1. nuevamente por aquí...

    he estado experimentando con el SISTEMA SOLAR...
    el mismo me ha resultado sumamente valioso... me ha permido afinar algunos detalles sobre los eclipses... gracias.

    a continuación no una paradoja sino mas bien un pasatiempo...

    En el extremo A de una Banda elástica ideal de goma de un kilómetro de longitud, se coloca un Gusano; para que se traslade hasta el otro extremo de la Banda, digamos B.

    El Gusano comienza a moverse sobre la Banda, desde A hacia el extremo B, con una velocidad constante de 1 cm/seg.

    La longitud original de la banda es de 1 km., pero al cabo de cada segundo la banda recibe un estirón que aumenta su longitud en 1 km., por lo cual la longitud durante el primer segundo es de 1 km., durante el siguiente segundo (el segundo segundo) es de 2 km., durante el tercer segundo es de 3 km., y así sucesivamente...

    Hay que decir que el estiramiento en la banda se produce de manera uniforme; es decir, cada trozo de la banda aumenta su longitud x proporcionalmente y no se rompe.

    ¿Logrará el Gusano alcanzar el extremo B de la Banda?.
    En el caso que la respuesta sea negativa, explique por qué no alcanza el extremo B.
    En el caso que la respuesta sea afirmativa, exprese el resultado en cualquier unidad de tiempo.

    nota1: si requiere aclaratoria ó explicación complementaria o compartir algún planteamiento de tipo matemático, favor enviar e-mail:
    prof.lidiavendano@gmail.com

    nota2: no estoy esperando respuesta alguna...

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  2. Gracias por tu comentario, y por la paradoja pronto te escribire mi respuesta.
    Saludos cordiales y sigue adelante.

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  3. en la primera paradoja realmente si querias eliminar la (a-b) de los dos lados no podias por que no es igual eliminarlo por su semejanza equitativa.. sin embargo si tenemos un despeje para elminarlo. nos quedaria
    a-b=b
    y se siguen cumpliendo las cosas, esta mal planteado

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  4. Hola, revisé todo el planteamiento y no hallo el error que mencionas. También revise el procedimiento y no veo de que forma me puede quedar a-b=b a menos que elimine (a+b) en el miembro izquierdo y (a-b) en el derecho lo cuál no se como lo haces usando lo que llamas semejanza equitativa. Te agradeceria mucho que escribas el procedimiento como lo haces tu. Gracias por tu mensaje, saludos cordiales

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  5. Hola Byron, podrias decirme la musica de fondo de que interprete es, Gracias.

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  6. En la primera paradoja es imposible dividir ambos lados para (a-b) porque si a y b son naturales y a=b; entonces a-b=0. NO se puede dividir para cero sin que haya una inconsistencia.
    El planteamiento es erróneo

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  7. en la del gusano, si llegaría al punto b ya q en el primer segundo el gusano recorrería 1 cm luego todo se estiraría a un total de 2 km entonces la posición del gusano que era 1 cm ahora seria 2 cm, entonces con esto el gusano si estaría avanzando aunque el elástico se estire no he hecho el calculo pero creo que se demoraría 100.000 segundos o alrededor de 28 horas

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