lunes, 21 de marzo de 2011

ESFERAS DE DANDELIN (una vision rápida a una de las maravillas de la geometría analítica)

(Este artículo participa en la EDICION 2.2 DEL CARNAVAL DE MATEMÁTICAS cuyo anfitrión para esta edición es nada menos que  GAUSSIANOS porque todo tiende al infinito)

Ha pasado tiempo ya desde que Ciencia por Barcedavid participó en un carnaval de matemáticas... desafortunadamente no pude estar en la edición cumbre celebrada en Tito Eliatron Dixit la edición 2.1... pero esta vez regresamos y con un artículo genial... ESFERAS DE DANDELIN.

Es sorprendente, a pesar de que los antiguos griegos conocian bien muchas propiedades de las SECCIONES CÓNICAS no fue sino hasta 1822 cuando se conocieron las elegantes configuraciones geométricas siguientes:
Estas esferas se conocen como Esferas de Dandelin y fueron descubiertas por dos matemáticos belgas: Lambert Jacques Quetelet (1796 - 1874) y Germinal Pierre Dandelin (1794 - 1847)

En geometría analítica a las curvas formadas por la intersección (no degenerada) de un plano con un cono se les llama secciones cónicas. Siempre que existen una o dos esferas interiores al cono que son simultáneamente tangentes al plano y al cono se les llama esferas de Dandelin estas tocan al plano de interseccion con el cono en un foco de la sección cónica. A veces también son llamadas esferas focales.

Las esferas de Dandelin son usadas para probar dos teoremas que eran conocidos 15 o 16 siglos antes de Dandelin pero el hizo mas facil el modo de abordarlos.

  1. El primer teorema dice que una sección cónica cerrada (es decir, una elipse) es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante. Esto ya era conocido por los antiguos matemáticos griegos como Apolonio de Perga  pero las esferas de Dandelin facilitan la prueba de dicho teorema
  2. Analicemos el teorema de acuerdo a la gráfica para entender mejor lo que plantea:
    *En la gráfica, el plano π intercepta al cono diagonalmente formando una elipse, como se puede apreciar en la grafica (de color azul) ademas tenemos dos esferas dentro del cono llamadas G1 sobre el plano π  y la  G2 bajo el plano π la intersección con el cono genera dos circulos; k1 y k2.
    *Cada esfera toca al plano π en un punto de tangencia llamados F1 y F2 
    *P es un punto cualquiera en la curva de la elipse azul 
    Ahora bien; el primer teorema nos dice que la figura formada por la interseccion del plano π con el cono y los dos puntos de tangencia de las esferas al plano π es una elipse tal como se muestra en el .gif siguiente:
    Prueba:
    La suma de las distancias d(F1P) + d(F2P) se mantiene constante para cualquier posición que adopte el punto P a lo largo de la curva.
    Una línea que pasa por el punto P y por el vértice S del cono intersecta a los círculos k1 y k2 en los puntos P1 y P2,  si se mueve el punto P a lo largo de la elipse, tambíen se moveran P1 y P2 a lo largo de los dos círculos (ver la animación) ahora bien, la distancia de F1 al punto P es la misma que la distancia de P1 a P, por ser PF1 y PP1 líneas que se intersectan en P y además ser tangentes a una misma esfera G1 (lineas color rosa) del mismo modo que  la distancia de F2 a P es la misma que la distancia de P2 a P, por ser PF2 y PP2 líneas que se intersectan en P y además ser  tangentes a una misma esfera G2.(lineas color amarillo)
    En consecuencia, la suma de las distancias d(F1P) + d(F2P) debe ser constante a medida que P se mueve a lo largo de la curva porque la suma de las distancias d(PP1) + d(PP2)  también se mantiene constante.y ademas el punto P se halla en la recta de P1 a P2, y la distancia de P1 a P2 se mantiene constante. 
    Si recordamos la definición de ELIPSE como el lugar geométrico de los puntos P tal que d(F1P) + d(F2P) = 2a (siendo 2a una constante igual al eje mayor), entonces el análisis anterior prueba que la intersección del plano π con el cono genera una elipse
    El resultado de esta demostración no es novedoso, ya era conocido desde la época de Apolonio de Perga ( 262 aC –  190 aC), lo que si resulta novedoso es la sencillez con la que demuestra lo mismo utilizando otro método, la construcción geométrica de las esferas de Dandelin.
    Veamos ahora el segundo teorema relacionado:
  3. El segundo teorema dice que para cualquiera de las secciones cónicas, la distancia de un punto fijo (el foco) es proporcional a la distancia desde una línea fija (directriz), la constante de proporcionalidad es la llamada excentricidad. Una vez más, este teorema ya era conocido por los antiguos griegos, como Pappus de Alejandría pero las esferas de Dandelin nuevamente facilitan la prueba
La recta directriz de una sección cónica se puede encontrar utilizando la construcción de Dandelin.

Cada esfera de Dandelin intercepta al cono en un círculo, cada uno de estos círculos k1 y k2 define su propio plano (πk1 y πk2), estos planos son paralelos entre sí y perpendiculares al eje del cono. Las intersecciones de estos dos planos con el plano π definirán en general dos líneas Df1 y Df2 (rojas en la figura), paralelas entre si, perpendiculares al eje del cono y externas al cono, estas líneas son conocidas como las directrices de las secciones cónica. La parábola es un caso particular porque sólo puede tener una esfera de Dandelin, y por lo tanto tendrá una sola directriz, la circunferencia es el otro caso particular dado que el plano π de intersección con el cono es paralelo a los círculos k1 y k2 y en consecuencia no se produce intersección alguna, lo que implica que la circunferencia no tiene recta directriz.
Usando de las esferas Dandelin, se puede demostrar que cualquier sección cónica es el lugar geométrico de los puntos para los que la distancia de un punto llamado foco es proporcional a la distancia de la directriz.

Los antiguos matemáticos griegos como Pappus de Alejandría ya eran conscientes de esta propiedad, pero nuevamente las esferas de Dandelin facilitan mucho la prueba.

Es interesante resaltar, para finalizar que ni Dandelin ni Quetelet utilizaron las esferas focales para demostrar la propiedad foco-directriz. El primero en hacerlo fue (aparentemente) Morton Pierce en 1829 La propiedad de foco-directriz es esencial para demostrar que los objetos astronómicos se mueven a lo largo de secciones cónicas alrededor del Sol.

saludos cordiales

Referencias bibliográficas:
Geometria Analítica Moderna (Wooton - Beckenbach - Fleming)






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