viernes, 25 de marzo de 2011

SIR ISAAC NEWTON (1643 - 1727) "A HOMBROS DE GIGANTES"

(Esta entrada participa en XVII edición del carnaval de la fisica que se realiza en VEGA 0.0, la primera participación del blog Ciencia por Barcedavid en el carnaval de la fisica) 

 
...De naturtaleza tímida, reacio a publicar sus resultados para asi evitar controversias y criticas de sus contemporaneos que lo marginaban emocional y afectivamente, uno de los cientificos mas grandes en la historia de la humanidad, sus obras son un portento de la mente humana; nos dejó un legado que se continua hasta ahora, sus teorías sirvieron de base a modernos estudios cientificos, éste es un breve tratado de la vida y obra de Sir Isaac Newton.
  
Un poco a cerca de su vida...

El 5 de febrero de 1676 Isaac Newton escribió una carta a su más acérrimo rival, Robert Hooke que contenia la frase "si he logrado ver mas lejos ha sido porque he subido a hombros de gigantes" (actualmente se cree que esta frase hacía alusión a la estatura bajita de Hooke) presentada a menudo como un homenaje a los descubrimientos cientificos de sus predecesores Galielo, Copernico y Kepler, esta frase se ha convertido en una de las más citadas de la historia de la ciencia. En efecto; Newton reconocio las contribuciones de aquellos hombres, algunas veces en público otras veces en escritos privados. Pero en su carta a Hooke, Newton se referia a las teorías ópticas especialmente al estudio de los fenomenos de las láminas finas a los que Hooke y Descartes habian aportado importantes contribuciones.

Isaac Newton era considerado el padre del estudio del cálculo infinitesimal, la mecánica y el movimiento planetario, y de la teoria de la luz y el color, pero se aseguró un lugar en la historia al formular la fuerza de la gravitación universal y escribir las ecuaciones de las leyes del movimiento y de la atracción en su obra cumbre: PHILOSOPHIAE NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA     (principios matemáticos de la filosofia natural)
conocido generalmente como Los Principia. En este libro convergen las contribuciones científicas de Copernico, Galielo, Kepler entre otros en una gran sinfonia dinamica. Los Principia, el primer libro de fisica teórica del mundo es unánimemente considerado como la obra mas importante de la historia de la ciencia y el fundamento cientifico del mundo moderno.

  Nweton escribió los tres libros que forman parte de los Principia en tan solo 18 meses y sorprendentemente entre graves crisis emocionales como las debidas a su competición con Hooke, su rencor llegó a tales extremos que suprimió del libro todas las referencias a Hooke aunque no podemos descartar que el mismo sentimiento hacia su colega hubiera sido una de las fuentes de inspiración de los Principia.

Podria escribir e investigar toda la vida de Newton y sus vivnecias no dejarian jmas de sorprendernos, pero he recopilado algunas de las mas trascendentales las cuales presento a continuación;

Datos interesantes...

  • Isaac Newton nació el dia de la navidad de 1642 (según el calendario juliano usado por entonces en Inglaterra, que viene siendo el 4 de enero de 1643 con respecto a nuestro calendario gregoriano) el mismo año de la muerte de Galielo; en la ciudad inglesa de Woolsthorpe en el Lincolnshire. Su madre no tenia muchas esperanzas que sobreviviera ya que nacio muy prematuro. 
  • El Padre biológico de Newton (también llamado Isaac) falleció tres meses antes de su nacimiento y su madre Hannah Ayscough se volvio a casar, ahora con Barnabas Smith un rico clérigo de North Witham, pero en la nueva familia el pequeño Isaac Newton no tenia espacio asi que lo enviaron al cuidado de su abuela Mergery Ayscough, el sentimiento de este abandono junto con la tragedia de no haber conocido a su padre persiguio a Newton el resto de su vida, despreciaba a su padrastro; en su diario en anotaciones en 1662 Newton examinando sus pecados recordó "haber amenazado a mi padre y mi madre Smith con quemarles a ellos y a su casa"
  • Toda su vida Newton tuvo violentas explosiones de rencor no solamente contra supuestos enemigos sino tambien contra amigos y familiares pero simultaneamente manifesto tempranamente el tipo de aptitudes que definirian los grandes exitos de su vida interesandose en modelos mecanicos y en dibujos arquitectónicos, construyendo relojes mecanicos, cometas llameantes, relojes de sol, molinos en miniatura (movidos por ratoncitos) ademas de dibijar detallados esbozos de animales y barcos.
  • A los 5 años asistió a la escuela Skillington y Stoke pero fue considerado uno de los peores estudiantes siendo calificado en los informes de sus maestros como "distraido" y "vago" a pesar de su curiosidad y su demostrada pasión por aprender no consiguió aplicarse en las tareas escolares.
  • Cuando el joven Issac Newton tuvo 10 años, Barnabas Smith murió y Hannah heredo una considerable suma, Isaac y su abuela empezaron a vivir con Hannah, un hermanastro y dos hermanastras. Como el rendimiento de Newton en la escuela era tan precario, Hannah decidió que sería mejor que trabajara en la granja y lo saco de la escuela gratuita de gramática de Grantham. Desafortunadamente para ella Isaac tenia menos aptitudes para llevar la propiedad de la familia que el que tenia por los deberes escolares. El hermano de Hannah, William que era clérigo decidió que sería mejor para la familia que el distraido Isaac volviera a la escuela para terminar su educación.
  • Newton regresó a las labores estudiantiles pero esta vez vivió con el director de la escuela libre de gramatica Jhon Stokens cosa que supuso un cambio de rumbo en su educación. Se dice que de alguna manera un golpe en la cabeza que le propino un matón del patio le iluminó y le permitio corregir el rumbo negativo de sus perspectivas escolares mostrando ahora aptitudes intelectuales y curiosidad, entonces Newton empezo a prepararse para continuar sus estudios en una universidad, la Trinity College, el alma mater de su tio William en la Universidad de Cambridge
  • En Trinity Newton recibia una ayuda para pagar el coste de su educación a cambio de hacer diversos trabajos como servir mesas y limpiar habitaciones para la facultad pero en 1664 fue admitido como becario lo que le garantizó apoyo económico y le permitió liberarse de las tareas domésticas. Cuando la universidad cerró sus aulas a causa de una epidemia de fiebre bubónica en 1665, Newton se retiró al Lincolnshire, en los 18 meses que paso en casa a causa de la epidemia se dedico por su cuenta a la mecánica y las matemáticas, y empezó a concentrarse en óptica y gravitación. ese "annus mirabilis" (año milagroso) como Newton lo llamó fue uno de los períodos mas productivos y fértiles de su vida, pues es en ese período en que cuenta la leyenda, le cayó una manzana sobre su cabeza despertandole de una siesta bajo un arbol y animandole a definir las leyes de la gravitación. Fue el mismo Newton que escribió que la caida de una manzana habia "ocacionado" su irrupción en el estudio de la gravitación y se cree que fue entonces cuando realizó todos sus experimentos con péndulos "Estaba en la flor de mi vida de investigador (recordó Newton, años después) y las matemáticas y la filosofía me apasionaban como nunca lo han hecho desde entonces
  • Un acontecimiento en Cambridge ejerció una profunda influencia sobre el futuro de Newton: la llegada de Isaac Barrow, que habia sido nombrado profesor Lucasiano de matemáticas. Barrow reconocio las extraordinarias aptitudes matemáticas de Newton y cuando dimitió de su cátedra en 1669 para dedicarse a la teología recomendó como sucesor en la cátedra al joven Newton de 27 años.
  • Al inicio en su cargo como profesor Lucasiano de matemáticas, Newton habia hecho grandes progresos en sus estudios de matemáticas puras, pero compartía su trabajo con muy pocos colegas. Ya en 1666 habia descubierto métodos generales de resolver problemas de curvatura, lo que él denominó TEORIAS DE FLUXIONES Y FLUXIONES INVERSAS  este descubrimiento provocó una agria disputa con los partidarios del matemático y filósofo alemán Gottfried Wilhelm Leibniz que más de una década después publicó sus descubrimientos de cálculo diferencial e integral ambos llegaron mas o menos a los mismos resultados matemñaticos pero Leibniz publicó su trabajos antes que Newton asi que los partidarios Newtonianos acusaban a Leibniz de haber visto los manuscritos del profesor lucasiano unos años antes y el apasionado debate entre ambas partes fue conocido como "DISPUTA DE LA PRIORIDAD DEL CALCULO" no conluyó hasta la muerte de Leibniz en 1716, los argumentos de Newton que a menudo se ampliaban hasta tocar las teorías sobre Dios y el universo asi como las acusaciones de plagio, amargaron y empobrecieron a Leibniz (los investigadores modernos creen que ambos llegaron al mismo resultado por caminos diferentes y la discución carecía de sentido).
  • Hacía 1666 Newton ya habia emnpezado a proponer teorías del movimiento pero todavia no era capaz de explicar adecuadamente la mecánica del movimiento circular, aun asi Newton se propuso descubrir la causa de que las órbitas de los planetas en su movimiento al rededor del sol fuera elípticas (Kepler quien formulo sus tres ecuaciones que describían con precisión el movimiento de los planetas al rededor del sol no pudo explicar la razón de sus orbitas a lo que dijo que estaban relacionados magnéticamente). Aplicando su propia ley de la fuerza centrífuga a la tercera ley de Kepler del movimiento planetario (ley de las armonias) dedujo entonces la ley del inverso de los cuadrados que establece que la fuerza de gravedad entre dos objetos cualesquiera es inversamente proporcional al cuadrado de la diatancia entre sus centros. Newton reconocia asi que LA GRAVITACION ES UNIVERSAL que una sola fuerza la misma que hace que una manzana caiga al suelo es la misma que hace que la luna gire al rededor de la tierra.
  • A comienzos de la decada de 1670 las discuciones mantenidas en los cafés de Londres y otros cenáculos intelectuales sostenían que la gravedad emanaba del sol en todas direcciones y disminuia con un ritmo inverso al cuadrado de la distancia diluyendose mas y mas amedida que aumentaba la superficie de la esfera. Robert Hooke (recordemos, acerrimo rival de Newton) declaró que habia deducido la ley de Kepler de las elipses a partir de la idea de que la gravedad era una fuerza de emanación pero que no develaria su deducción a Halley ni a Wren (Hooke, Halley y Wren eran miembros de la Royal Siciety en donde Christopher Wren era el célebre arquitecto de la catedral de San Pablo en Londres) hasta que estuviera a punto de hacerla pública; Furioso Halley fue a Cambridge y contó a Newton las pretenciones de Hooke y le planteó el siguiente problema: ¿Cuál sería la forma de la órbita de un planeta alrededor del sol si éste fuera atraido hacia aquel por una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros? y respondiendo inmediatamente la respuesta de Newton fue categórica y asombrosa SERIA UNA ELIPSE; dijo casi sin inmutarse y añadio que habia resuelto ese problema 4 años atras pero que la demostración la habia extraviado en algun rincón de su despacho
  • A petición de Halley, Newton paso trabajando tres meses rehaciendo y mejorando la demostración de ese problema, durante 18 meses en que escribio su obra cumbre solia absorverse tanto en su trabajo que olvidaba comer, para Halley, el profesor Lucasiano de matemáticas habia triunfado donde todos los demas habian fracasado asi que financió personalmente la publicación de la voluminosa obra como una obra maestra y un regalo a la humanidad. Donde Galileo habia demostrado que los objetos son estirados hacia el centro de la tierra, Newton logró demostrar que esa misma fuerza de gavedad afectaba las órbitas de los planteas, la trayectoria de la luna al rededor de la tierra, la subida y bajada de las mareas en la tierra, la caida de una manzana, entre otras.  
  • El libro primero de los Principia abarcaba en su totalidad  las tres leyes de Newton del movimiento: 
  • 1) Todo cuerpo sigue en su estado de reposo o de movimiento uniforme rectilineo, a menos que sea obligado a cambiar dicho estado por fuerzas externas
  • 2) El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza que actua sobre el cuerpo y tiene lugar en la dirección en que se aplica la fuerza.
  • 3) A cada fuerza de acción se le opone una reacción igual  a las acciones mutuas entre dos cuerpos, siempre son iguales y dirigidas en sentidos opuestos.
  •  El libro segundo empezó como una prolongación del libro primero, no estaba incluido en el plan original de la obra, es escencialmente un tratado sobre la mecánica de fluidos y permitió a Newton exhibir su talento matemático, hacia el final del libro Newton concluyó que los vórtices invocados por Descartes para explicar los movimientos de los planetas no resisten un análisis detallado ya que los movimientos se pueden realizar en un espacio libre y sin vórtices "PORQUE ASI ES" escribió Newton "Puede ser comprendido en el libro primero y lo trataré mas detalladamente en el libro siguiente" concluyó.   
  • El libro tercero subtitulado "sobre el sistema del mundo" Newton concluía sobre mediante una aplicación al mundo fisico de las leyes del movimiento del libro primero que "hay una fuerza de gravitación que tiende hacia todos los cuerpos, proporcional a la cantidad de materia que contiene cada uno de ellos" Demostró luego que su ley de garvitación universal lograba explicar el movimiento de los 6 planetas conocidos así como los de las lunas, cometas, precesión de los equinoccios y mareas. La ley establece que dos porciones cualesquiera de materia son atraidas mutuamente con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas y asi fue como Newton mediante una sola colección de ecuaciones habia logrado unir a la tierra con todo lo que podia ver en los cielos. En las dos primeras "REGLAS PARA FILOSOFAR" del libro tercero Newton escribio: NO DEBEN ADMITIRSE MAS CAUSAS A LAS COSAS NATURALES QUE AQUELLAS QUE SEAN VERDADERAS Y SUFICIENTES PARA EXPLICAR SUS FENOMENOS.... POR ELLO, EN TANTO SEA POSIBLE HAY QUE ASIGNAR A LAS MISMAS CAUSAS A LOS EFECTOS NATURALES DEL MISMO GÉNERO.
  • Los Principia fueron celebrados con moderación al ser publicados en 1687 pero la primera edición solo constó de unos 500 ejemplares sinembargo el némesis de Newton, Robert Hooke habia amenazado con aguar la fiesta que Newton hubiera podido disfrutar. Cuando apareció el libro segundo Hooke afirmó públicamente que las cartas que habia escrito en 1679 habian proporcionado ideas científicas vitales para los descubrimientos de Newton, sus pretenciones aunque dignas de atención a Newton le parecieron abominables, fue entonces cuando juró retrasar o incluso abandonar la publicación de libro tercero. Al final cedió y lo publicó no sin antes eliminar cuidadosamente cualquier mención al nombre Hooke.
  • El libro mas leido de Newton fue OPTICKS (del cuál también retrasó su publicación) su importante estudio de la luz y el color, incluso despues de la muerte de Hooke. En 1693 sufrió otra crisis nerviosa y dejo de investigar, dejó de asistir a la Royal Society hasta la muerte de Hooke en 1703 y entonces fue elegido presidente y reelegido cada año hasta su propia muerte en 1727 
  • Newton empezó el siglo 17 ocupando el cargo oficial de director de la Real Casa de la Moneda donde usando su experiencia en alquimia determinó métodos para establecer la integridad de la moneda nglesa. Como presidente de la Royal Society continuó batallando con determinación contra sus supuestos enemigos, prolongando su eterna disputa en especial con Leibniz sobre su rivalidad acerca de quien habia inventado el cálculo.
  • Fue nombrado Caballero por la reina Ana en 1705 y vivio para la segunda y tercera edición de los Principia.
  • Sir Isaac Newton falleció en marzo de 1727 tras accesos de inflamación pulmonar y gota, tal como se lo propuso no tuvo rival en el campo de las ciencias exactas, tampoco se conoce oficialmente alguna relacion sentimental con alguna mujer. 
  • El poeta Alexander Pope, contemporaneo de Newton expresó con gran elegancia el regalo del pensador a la humanidad: LA NATURALEZA Y SUS LEYES YODAN EN LA NOCHE, DIOS DIJO: " ¡¡SEA NEWTON!! " Y TODO SE HIZO LUZ.
  • Pese a sus mezquinas disputas y su innegable arrogancia hacia el ocaso de su vida Sir Isaac Newton fue considerablemente modesto al enjuiciar sus exitos: NO SE QUE PARECERÉ AL MUNDO, PERO TENGO LA IMPRESION DE HABER SIDO TAN SOLO COMO UN NIÑO JUGANDO EN LA COSTA, DIVIRTIENDOME EN BUSCAR AQUI Y ALLA UN GUIJARRO MAS LISO O MAS HERMOSO QUE DE ORDINARIO MIESTRAS EL GRAN OCEANO DE LA VERDAD YACE ANTE MI COMPLETAMENTE POR DESCUBRIRSE.         
DATOS CURIOSOS

De entre el trabajo matemático de Newton, profundo y poderoso, se pueden distinguir algunos temas centrales. Estos son los desarrollos en serie de potencias, en especial el desarrollo del binomio, algoritmos para hallar raíces de ecuaciones y de inversión de series, relación inversa entre diferenciación e integración y el concepto de fluentes y fluxiones como variables que cambian en el tiempo. Sir Isaac Newton, descubridor de la ley de gravedad, previó que el fin del mundo llegará en 2060. Newton estuvo muy interesado también en óptica, dinámica, alquimia, cronología de la historia y en la interpretación de las sagradas escrituras.
  • También se dedico al estudio de la alquimia y las profecías apocalípticas; intentando así descifrar los conocimientos en los manuscritos que él consideraba, eran secretos.
  • En uno de esos manuscritos trata de calcular la fecha o el año en que nuestro mundo llegaría a su fin y para ello hace uso de las revelaciones del profeta Daniel en el Antiguo Testamento.; para ese propósito también utiliza textos hebreos de la liturgia judía y fragmentos de la obra de Maimonides, filósofo y médico cordobés.
  • Miembros de la Universidad Hebrea donde los documentos de Newton fueron expuestos por primera vez al público, declararon que en ellos Newton muestra una de sus facetas más desconocidas y es la de querer extraer material científico basándose en textos de la Biblia y el Talmud; exhibiendo una aproximación meticulosa, tal como lo hacía en sus trabajos científicos y se acerca a la ciencia con fervor religioso.
  • Newton deduce así que el fin del mundo se producirá en el año 2060, de los muchos textos antiguos que estudió se centró en la Cábala, ( la explicación de la Tora ) es decir los 5 libros que conforman el Pentateuco según el cristianismo, utilizó también un libro traducido al latín, “El zohar” que explica y ayuda a decodificar la Torá, el ejemplar del Zohar utilizado por Newton está expuesto hoy día en la universidad de Cambridge.
  • según sus investigaciones en la Torá se halla codificado que el fin del mundo vendrá 1260 años después de iniciado el imperio de Carlomagno, y puesto que Carlomagno fue coronado como emperador en el año 800 d.c. (800+1260=2060) queda claro que el fin del mundo según Newton será en esa fecha
  • Los documentos de Newton provienen de una subasta realizada en 1936 en Londres. El lote contenía un millón de palabras sobre alquimia y tres millones sobre teología y profecías bíblicas. La mayoría de los pergaminos fueron comprados por dos personas: el economista británico John Maynard Keynes (que los legó al King's College de Cambridge) y el orientalista Abraham Shalom Ezekiel Yahuda, que se los dio en 1951 al recién nacido Estado de Israel; de allí pasaron al centro educativo en 1969; se dieron a conocer en 2003, pero nunca antes habían sido expuestos al público. 
FRASES CÉLEBRES DE SIR ISAAC NEWTON

  • PUEDO CALCULAR EL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS CELESTES, PERO NO LA LOCURA DE LA GENTE.
  • SI HE HECHO DESCUBRIMIENTOS INVALUABLES HA SIDO MAS POR TENER PACIENCIA QUE CUALQUIER OTRO TALENTO
  • SI HE CONSEGUIDO VER MAS LEJOS HA SIDO PORQUE HE SUBIDO A HOMBROS DE GIGANTES
  • LOS HOMBRES CONSTRUIMOS DEMASIADOS MUROS Y NO SUFICIENTES PUENTES
  • LA NATURALEZA ES SUFICIENTEMENTE COHERENTE Y CONFORTABLE CONSIGO MISMA
  • LO QUE SABEMOS ES UNA GOTA DE AGUA, LO QUE IGNORAMOS ES EL OCEANO.
    bibliografia: * A hombros de gigantes (edición de Stephen Hawking) * Fotografias: internet

miércoles, 23 de marzo de 2011

¿COMO SERIA APROXIMARSE A SATURNO VIAJANDO EN UNA NAVE ESPACIAL? Miralo aquí



Cassini se aproxima a Saturno

Realmente magnifico trabajo de edición y producción, pues asi como lo ve en este video... la SONDA CASSINI tomando miles de miles de imagenes a su paso por Saturno y miles mas cuando entro a su orbita; algunas de estas imagenes ...se han digitalizado, recortado y compilado en el inquietante video de arriba que es parte del gran proyecto filmografico en desarrollo del IMAX llamado Outside In .

En la última secuencia, Saturno surge cada vez más grande mientras que el nublado Titán desciende.

Con Saturno de fondo, la Cassini sigue hacia Mimas , con el gran Cráter Hrschel claramente visible.

Los majestuosos anillos de Saturno entonces toman escena mientras Cassini cruza el plano del fino anillo del planeta.

Las oscuras sombres del anillo se muestran sobre Saturno como tal.

Finalmente, la enigmática luna de geíseres de hielo Encelado aparece en la distancia y se va aproximando conforme el video termina..

Creditos:
Astronomical Picture of the day (NASA)


lunes, 21 de marzo de 2011

ESFERAS DE DANDELIN (una vision rápida a una de las maravillas de la geometría analítica)

(Este artículo participa en la EDICION 2.2 DEL CARNAVAL DE MATEMÁTICAS cuyo anfitrión para esta edición es nada menos que  GAUSSIANOS porque todo tiende al infinito)

Ha pasado tiempo ya desde que Ciencia por Barcedavid participó en un carnaval de matemáticas... desafortunadamente no pude estar en la edición cumbre celebrada en Tito Eliatron Dixit la edición 2.1... pero esta vez regresamos y con un artículo genial... ESFERAS DE DANDELIN.

Es sorprendente, a pesar de que los antiguos griegos conocian bien muchas propiedades de las SECCIONES CÓNICAS no fue sino hasta 1822 cuando se conocieron las elegantes configuraciones geométricas siguientes:
Estas esferas se conocen como Esferas de Dandelin y fueron descubiertas por dos matemáticos belgas: Lambert Jacques Quetelet (1796 - 1874) y Germinal Pierre Dandelin (1794 - 1847)

En geometría analítica a las curvas formadas por la intersección (no degenerada) de un plano con un cono se les llama secciones cónicas. Siempre que existen una o dos esferas interiores al cono que son simultáneamente tangentes al plano y al cono se les llama esferas de Dandelin estas tocan al plano de interseccion con el cono en un foco de la sección cónica. A veces también son llamadas esferas focales.

Las esferas de Dandelin son usadas para probar dos teoremas que eran conocidos 15 o 16 siglos antes de Dandelin pero el hizo mas facil el modo de abordarlos.

  1. El primer teorema dice que una sección cónica cerrada (es decir, una elipse) es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante. Esto ya era conocido por los antiguos matemáticos griegos como Apolonio de Perga  pero las esferas de Dandelin facilitan la prueba de dicho teorema
  2. Analicemos el teorema de acuerdo a la gráfica para entender mejor lo que plantea:
    *En la gráfica, el plano π intercepta al cono diagonalmente formando una elipse, como se puede apreciar en la grafica (de color azul) ademas tenemos dos esferas dentro del cono llamadas G1 sobre el plano π  y la  G2 bajo el plano π la intersección con el cono genera dos circulos; k1 y k2.
    *Cada esfera toca al plano π en un punto de tangencia llamados F1 y F2 
    *P es un punto cualquiera en la curva de la elipse azul 
    Ahora bien; el primer teorema nos dice que la figura formada por la interseccion del plano π con el cono y los dos puntos de tangencia de las esferas al plano π es una elipse tal como se muestra en el .gif siguiente:
    Prueba:
    La suma de las distancias d(F1P) + d(F2P) se mantiene constante para cualquier posición que adopte el punto P a lo largo de la curva.
    Una línea que pasa por el punto P y por el vértice S del cono intersecta a los círculos k1 y k2 en los puntos P1 y P2,  si se mueve el punto P a lo largo de la elipse, tambíen se moveran P1 y P2 a lo largo de los dos círculos (ver la animación) ahora bien, la distancia de F1 al punto P es la misma que la distancia de P1 a P, por ser PF1 y PP1 líneas que se intersectan en P y además ser tangentes a una misma esfera G1 (lineas color rosa) del mismo modo que  la distancia de F2 a P es la misma que la distancia de P2 a P, por ser PF2 y PP2 líneas que se intersectan en P y además ser  tangentes a una misma esfera G2.(lineas color amarillo)
    En consecuencia, la suma de las distancias d(F1P) + d(F2P) debe ser constante a medida que P se mueve a lo largo de la curva porque la suma de las distancias d(PP1) + d(PP2)  también se mantiene constante.y ademas el punto P se halla en la recta de P1 a P2, y la distancia de P1 a P2 se mantiene constante. 
    Si recordamos la definición de ELIPSE como el lugar geométrico de los puntos P tal que d(F1P) + d(F2P) = 2a (siendo 2a una constante igual al eje mayor), entonces el análisis anterior prueba que la intersección del plano π con el cono genera una elipse
    El resultado de esta demostración no es novedoso, ya era conocido desde la época de Apolonio de Perga ( 262 aC –  190 aC), lo que si resulta novedoso es la sencillez con la que demuestra lo mismo utilizando otro método, la construcción geométrica de las esferas de Dandelin.
    Veamos ahora el segundo teorema relacionado:
  3. El segundo teorema dice que para cualquiera de las secciones cónicas, la distancia de un punto fijo (el foco) es proporcional a la distancia desde una línea fija (directriz), la constante de proporcionalidad es la llamada excentricidad. Una vez más, este teorema ya era conocido por los antiguos griegos, como Pappus de Alejandría pero las esferas de Dandelin nuevamente facilitan la prueba
La recta directriz de una sección cónica se puede encontrar utilizando la construcción de Dandelin.

Cada esfera de Dandelin intercepta al cono en un círculo, cada uno de estos círculos k1 y k2 define su propio plano (πk1 y πk2), estos planos son paralelos entre sí y perpendiculares al eje del cono. Las intersecciones de estos dos planos con el plano π definirán en general dos líneas Df1 y Df2 (rojas en la figura), paralelas entre si, perpendiculares al eje del cono y externas al cono, estas líneas son conocidas como las directrices de las secciones cónica. La parábola es un caso particular porque sólo puede tener una esfera de Dandelin, y por lo tanto tendrá una sola directriz, la circunferencia es el otro caso particular dado que el plano π de intersección con el cono es paralelo a los círculos k1 y k2 y en consecuencia no se produce intersección alguna, lo que implica que la circunferencia no tiene recta directriz.
Usando de las esferas Dandelin, se puede demostrar que cualquier sección cónica es el lugar geométrico de los puntos para los que la distancia de un punto llamado foco es proporcional a la distancia de la directriz.

Los antiguos matemáticos griegos como Pappus de Alejandría ya eran conscientes de esta propiedad, pero nuevamente las esferas de Dandelin facilitan mucho la prueba.

Es interesante resaltar, para finalizar que ni Dandelin ni Quetelet utilizaron las esferas focales para demostrar la propiedad foco-directriz. El primero en hacerlo fue (aparentemente) Morton Pierce en 1829 La propiedad de foco-directriz es esencial para demostrar que los objetos astronómicos se mueven a lo largo de secciones cónicas alrededor del Sol.

saludos cordiales

Referencias bibliográficas:
Geometria Analítica Moderna (Wooton - Beckenbach - Fleming)