lunes, 25 de octubre de 2010

Propiedad Arquimediana de los Números Naturales

(esta entrada participa en la 7ma edición del carnaval de matemáticas cuyo anfitrión es el blog El Maquina de Turing)

Un teorema bastante "sencillo"

TEOREMA:

Sea "x" un número real positivo e "y" un número real cualquiera, entocnes existe un entero positivo "n" tal que nx>y

DEMOSTRACIÓN:

Puesto que el conjunto de los enteros positivos no es acotado superiormente, existe n elemento del conjunto de los enteros positivos tal que n > (y/x) de donde se sigue que nx >y ▄





La propiedad arquimediana de los números reales tiene la siguiente interpretación geométrica:

Si tenemos dos segementos de recta uno tan largo como queramos de longitud Z y el otro de lingitud tan corto como queramos de longitud X, tomando un número suficientemente el nuúero de veces el segmento pequeño, podemos cubrir el segmento grande asi:

________________________________________________
(segmento de longitu Z)


________
(segmento de longitu X)


Utilizando la propiedad arquimediana se puede demostrar con alguna dificultad y sin usar interpretaciones decimales que el conjunto de los números racionales es denso ( es decir que todos sus puntos son de acumulación) en el conjunto de los numeros reales, a partir de este último resultado se puede deducir también que el conjunto de los números irracionales también es denso en el conjunto de los reales. ▄

He escrito esta entrada especialmente para esta séptima edición del carnaval de matemáticas, disculpen ustedes amigos matemáticos la sencillez del mismo, hice lo mejor que pude en el corto tiempo que dispuse.

Saludos cordiales

2 comentarios:

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  2. La propiedad arquimediana de los n umeros reales, re
    eja algo as como el sentido
    com un llevado al mundo de las magnitudes. Cuando se quiere medir el largo de un segmento
    llevando sobre el un segmento unidad, siempre es posible dejar un resto (si es que lo hay)
    inferior a la unidad. O lo que es lo mismo, es posible llevar el segmento unidad una cantidad
    su ciente de veces sobre el segmento a medir, de modo que se termina por sobrepasarlo.
    Esta situaci on con los s mbolos que hemos introducido puede escribirse como: dado b
    (segmento a medir) y a (segmento unidad), siempre existe un n umero natural n tal que
    n a > b. Si en particular tenemos a = 1, entonces dado b siempre existe n tal que n > b.
    Son diferentes maneras de expresar una misma propiedad.

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